Физика

за сваког по нешто

Механички хармонијски осцилатор

Преузми Word документ

ПРИМЕРИ:

  • ротација Месеца око Земље, Земље око Сунца – опишу круг, па се понавља
  • врх казаљке сата

periodicno 1

Кретање које се после одређеног времена понавља на исти начин, назива се периодично кретање.

Најједноставнија периодична кретања су равномерно кружно кретање и осцилаторно кретање.

periodicno 2

Разлика између ова два начина кретања:

  1. тело се креће по истој путањи у истом смеру
  2. тело се креће по истој путањи, али мења смер кретања

Најједноставнија периодична кретања су равномерно кружно кретање и осцилаторно кретање.

Периодично кретање које се врши увек по истој путањи око равнотежног положаја назива се осцилаторно кретање – осциловање.

Један завршен циклус осцилаторног кретања, после кога настаје понављање назива се осцилација

(Из равнотежног положаја дође до најудаљеније тачке, тренутно се заустави, врати се у равнотежни положај, а затим услед инерције настави да се креће до најудаљенијег положаја са друге стране и поново се враћа у равнотежни положај)

Тело које осцилује назива се осцилатор.

 Елонгација – растојање тела од равнотежног положаја (најчешће се означава са x).

 Амплитуда – највећа вредност елонгације, односно највеће растојање од равнотежног положаја (најчешће се означава са x_{0}).

 Време за које се изврши једна осцилација је период осциловањаОзначава се великим словом Т.

T=\frac{t}{n}

Број осцилација у једној секунди назива се фреквенција (учестаност) осциловања. Означава се словом f, а јединица је херц (Hz).

f=\frac{1}{T}

1Hz=\frac{1}{s}

 

Фреквенција и период осциловања не мењају вредност током времена у осцилатору нема губитка енергије, трења и сл.

 

У зависности од физичке природе осцилација можемо да разликујемо механичке осцилације и електромагнетне осцилације.

 

Графичко приказивање осцилатороног кретања – синусоида:

oscilacije-1

sinusoida-1

Најједноставнији случај осцилаторног кретања је хармонијско кретање или хармонијске осцилације. Сви до сада описани примери представљају хармонијско осциловање.

Кретање тела које може да се опише величинама које могу да се представе у облику синусне или косинусне функције назива се хармонијско осцилаторно кретање. Линеарни хармонијски осцилатор – тело које осцилује дуж праве линије по хармонијском закону.

Хармонијске осцилације су оне које имају карактер синусних осцилација. Хармонијске осцилације изазива сила која је сразмерна елонгацији. Амплитуда хармонијских осцилација је константна.

 

Тело закачено за један крај еластичне опруге:

oscilovanje-tega-1

Када се тело изведе из равнотежног положаја, опруга се истеже и делује на тело еластичном силом:

F=-kx

k – коефицијент еластичности

знак “-“ означава да еластична сила и померај имају супротне смерове

Еластична сила у сваком тренутку има смер ка равнотежном положају, тежи да врати тело у равнотежни положај и зато се каже да је она повратна (реституциона) сила.

 

Према II Њутновом закону:

ma=-kx

a=-\frac{k}{m}x

 

 

Веза између хармонијског и равномерног кружног кретања

oscilator-elongacija

Посматрамо тачку А која се креће по кружници сталном брзином. Кретање пројекције тачке А можемо да упоредимо са кретањем тела закаченог за еластичну опругу.

Координата положаја тачке А је:

x=x_{0}sin\varphi

x=x_{0}sin\omega t

За почетак кретања може да се узме било која тачка на кружници (на пример: кретање се посматра од тренутка када је тачка у положају С).

oscilator-elongacija1

У том случају мора да се узме у обзир и почетни угао – почетна фаза, па је општи облик координате положаја:

x=x_{0}sin \left ( \omega t+\varphi _{0} \right )

 \omega t+\varphi _{0} – фаза осциловања

 \varphi _{0} – почетна фаза осциловања

 

Брзина:

oscilator-brzina

v=v_{0}cos \left ( \omega t+\varphi _{0} \right )

v_{0}=\omega r=\omega x_{0}

v=\omega x_{0}cos \left ( \omega t+\varphi _{0} \right )

Убрзање:

Код равномерног кружног кретања интензитет периферијске брзине је константан v_{0}, па је убрзање тачке А једнако нормалном (радијалном) убрзању.

oscilator-ubrzanje

a=-a_{0}sin \left ( \omega t+\varphi _{0} \right )

a_{0}=\omega^{2} r=\omega^{2} x_{0}

a=-\omega^{2} x_{0}sin \left ( \omega t+\varphi _{0} \right )

a=-\omega^{2} x

знак “-“ означава да је убрзање увек усмерено ка равнотежном положају.

t – временски тренутак

x – тренутни положај (елонгација)

v – тренутна брзина осцилатора

a – тренутно убрзање осцилатора

x_{0} – амплитуда осциловања

\omega – кружна фреквенција \omega  =\frac{2\pi }{T}

\varphi _{0} – почетна фаза

\varphi =\left ( \omega t+\varphi _{0} \right ) фаза у тренутку t

v_{0}=\omega x_{0} – максимална вредност брзине (амплитуда брзине) – кад пролази кроз равнотежни положај

a_{0}=\omega^{2} x_{0} – максимална вредност убрзања (амплитуда убрзања) – кад се налази у амплитудним положајима

 

Графици зависности положаја, брзине и убрзања тела при хармонијском осциловању од времена и фазе осциловања:

2016-11-23_17-28-54

Према II Њутновом закону:

ma=-kx

a=-\frac{k}{m}x

пошто је:

a=-\omega^{2} x_{0}sin \left ( \omega t+\varphi _{0} \right )

a=-\omega^{2} x

тада је:

-\omega ^{2}x =-\frac{k }{m}x

\omega ^{2} =\frac{k }{m}

\omega  =\sqrt{\frac{k}{m}}                   \omega  =\frac{2\pi }{T}

T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}

Период осциловања линеарног хармонијског осцилатора зависи од масе осцилатора и коефицијента повратне силе.

 


Додатак:

 

Енергија хармонијског осцилатора