Квантно-механичка теорија атома

Решавањем Шредингерове једначине могу да се добију могућа стања атома.

Када се у Шредингерову једначину замени вредност за потенцијалну енергију електрона у електричном пољу језгра атома водоника добијају се функције стања електрона у водониковом атому. Свако стационарно стање електрона одређено је са три квантна броја. Поред главног квантног броја n, који се појављује у Боровој теорији, за описивање стања електрона користе се и орбитални ( $l$ ) и магнетни ( $m_{l}$ ) квантни број.

Главни квантни број n (има слично значење као квантни број n у Боровом моделу) одређује енергију стационарних стања у атому водоника и може да има да има вредности n = 1, 2, 3…

Стања са различитим вредностима главног квантног броја означавају се на следећи начин:

главни квантни број	1	2	3	4	5	6	7
ознака стања	K	L	M	N	O	P	Q

Орбитални квантни број $l$ одређује вредности орбиталног момента импулса електрона на орбити око језгра. Момент импулса кретања електрона око језгра може да има само одређене вредности.

$L=\hbar \sqrt{l(l+1)}$ $l$ =0, 1, …, n-1

Стања са различитим вредностима орбиталног квантног броја означавају се на следећи начин:

орбитални квантни број	0	1	2	3	4	5
ознака стања	s	p	d	f	g	h

Ознака стања електрона садржи садржи информацију о вредностима главног и орбиталног квантног броја.

Пример: 3p n=3, $l$ =1

За разлику од класичне у квантној теорији вредности интензитета вектора момента импулса нису једнаке производу целог броја и Планкове константе. Такође, према Боровој теорији орбитални момент не може бити једнак нули (то би значило да је r=0, односно електрон пролази кроз језгро), док према квантној теорији може бити и једнак нули. Поред тога, према класичној теорији орбитални момент може имати само једну вредност за сваку вредност квантног броја n, а према квантној теорији може имати више вредности за одређену вредност квантног броја n.

Магнетни квантни број m (често се означава и као $m_{l}$ ) повезан је са магнетним моментом електрона, који се јавља због његовог орбиталног кретања. Вредност магнетног квантног броја одређује оријентацију путање (орбите) у простору.

Ако електрон у атому унесемо у спољашње магнетно поље, па z – осу усмеримо у смер тог поља, тада магнетни квантни број одређује z – пројекцију орбиталног момента импулса:

$L_{z}=\hbar \cdot m_{l}$

Магнетни квантни број може да има следеће вредности:

$m_{l}$ = 0, ±1, ±2, …. ± $l$

Магнетни квантни број може да има $2l+1$ различитих вредности. То значи да се енергетски ниво, одређен главним квантним бројем, цепа у $2l+1$ енергетских поднивоа.

За стање система који има неколико подстања која имају исту енергију, каже се да дегенерисано. Основно стање (n=1) није дегенерисано јер је једина дозвољена вредност $l$ =0, која нема магнетних подстања. Прво побуђено стање (n=2) има два подстања са $l$ =0 и $l$ =1, од којих прво нема магнетних подстања, а друго има три $m_{l}$ =-1, $m_{l}$ =0 и $m_{l}$ =+1 што укупно чини четири подстања. Укупна дегенерација стања одређеног квантног броја n је n². На основу познавања структуре поднивоа могу да се објасне интензитети спектралних линија, постојање фине структуре спектралних линија и структура атома тежих од водоника.

Интензитети спектралних линија зависи од више параметара, али је најбитнији да ли прелаз између одређених подстања може да се деси. Ограничења за емисију или апсорпцију на основу главног квантног броја n не постоје. Ограничења која су повезана са орбиталним квантним бројем $l$ – дозвољени су само прелази само између стања чији се орбитални квантни бројеви $l$ разликују за ±1. Ограничења која су повезана са магнетним квантним бројем $m_{l}$ – дозвољени су само прелази само између стања чији се магнетни квантни бројеви $m_{l}$ разликују за 0 или ±1.

Према Шредингеровој једначини стање електрона у атому одређено је са три квантна броја (о којима је било речи). На основу експеримената закључено је да електрон има још један момент импулса који је назван спин. У почетку се мислило да је спин условљен обртањем електрона око сопствене осе и да постоје две могућности његове ротације – у смеру казаљке на сату и у супротном смеру од смера кретања казаљке на сату. Огледи су показали да представа о електрону као куглици која ротира око своје осе није тачна. У обзир морају да се узму и његова таласна својства.

Спин треба схватити као унутрашње својство електрона које електрон поседује, слично као што има масу и наелектрисање. Спин нема аналогију у макросвету.

Спински квантни број, се добија решавањем Диракове једначине која представља проширење Шредингерове једначине. Спин ( спински квантни број ) одређује сопствени момент импулса електрона. Вредност спинског квантног броја је $s=\frac{1}{2}$ .

Вредност споственог момента импулса електрона (аналогија са орбиталним моментом импулса) је:

$S=\hbar \sqrt{s(s+1)}$ $s=\frac{1}{2}$

$S=\hbar \frac{\sqrt{3}}{2}$

По аналагоји са орбиталним моментом, пројекција сопственог момента импулса је:

$S_{z}=\hbar \cdot m_{s}$

где је $m_{s}$ магненти спински квантни број

По аналогији са магнетним квантним бројем, који има вредности $-l\leq m \leq l$ , може да се напише да су магнетни спински квантни број и спински квантни број повезани на следећи начин:

$-s\leq m_{s} \leq s$

$-\frac{1}{2}\leq m_{s} \leq \frac{1}{2}$

Магнетни спински квантни број електрона за сваку комбинацију квантних бројева n, $l$ и $m_{l}$ може да има само две вредности:

$m_{s}=\pm \frac{1}{2}$

Квантни електронски облак

У квантној теорији електрон се често представља електронским квантним облаком који представља расподелу густине вероватноће налажења електрона у одређеном делу простора око језгра.

Применом Хајзенбергове релације неодређености на опис стања електрона у атому, закључује се да електрон нема познату путању кретања јер би то значило да је неодређеност положаја електрона једнака нули. Ако је неодређеност положаја једнака нули неодређеност импулса би тежила бесконачности. То би значило да тачно знамо где је електрон, али пошто му је брзина веома велика он тамо не може да буде.

На питање где се електрон налази је негде унутар облака вероватноће односно електронског облака. Назив квантни електронски облак је само сликовит приказ вероватноће одређивања положаја електрона, а не облак у правом смислу те речи – није као облак на небу који заклања Сунце.

Изглед квантног електронског облака зависи од стања у коме се електрон налази. Пошто енергија зависи од квантног броја n, a квантни број $l$ одређује момент импулса, а $m_{l}$ његову оријентацију, значи да излед електронског облака зависи од вредности ових квантних бројева.

ШТЕРН-ГЕРЛАХОВ ОГЛЕД

Немачки физичари Ото Штерн и Валтер Герлах извели су експеримент (1921.) са снопом атома сребра. Атоме сребра, су кроз узани отвор, усмеравали у нехомогено магнетно поље. Магнетно поље се постепено појачава према крају на којем сноп излази из магнетног поља.

Експеримент је показао да се сноп дели на два дела, тако да се на фотографској плочи региструју два трага.

Атоми сребра имају само један валентни електрон у s стању (у основном стању), које је одређено орбиталним квантним бројем $l$ =0. Због тога је и орбитални магнетни момент електрона једнак нули. Зато не може да дође до интеракције између спољашњег магнетног поља и магнетног поља електрона који је последица орбиталног кретања око језгра. Подела снопа атома сребра на два дела, под утицајем спољашњег магнетног поља, указује да електрон поседује још неки додатни магнетни момент. Овај магнетни момент може да има две оријентације – једна у смеру спољашњег магнетног поља, а друга у супротном смеру.

Овај неочекивани резултат је омогућио увођење сопственог момента импулса електрона односно спина.

Холандски физичари Самјуел Гаудсмит и Џорџ Уленбек (1925.) мерени магнетни момент електрона објашњавају ротацијом електрона око сопствене осе. Од тога потиче и порекло назива спин. Показало се да такво тумачење није коректно, али је назив остао. Показало се да је спин уствари унутрашње својство честица, као на пример маса и наелектрисање.