Потенцијална енергија гравитационе интеракције

Укупна механичка енергија тела једнака је збиру његове кинетичке и потенцијалне енергије.

$E=E_{k}+E_{p}$

Енергија коју тела имају при кретању назива се кинетичка енергија.

$E_{k}=\frac{mv^{2}}{2}$

Кинетичка енергија тела сразмерна је маси тела и квадрату његове брзине.

Енергија која је условљена узајамним положајем тела или узајамним положајем честица назива се потенцијална енергија. Значи, потенцијална енергија зависи од узајамног распореда тела (честица) у оквиру посматраног система.

Зависно од врсте узајамног деловања постоји:

гравитациона потенцијална енергија
потенцијална енергија силе еластичности
електростатичка потенцијална енергија

примери:

цреп на крову, књига на столу, јабука на дрвету (узајамни положај тела);
а такође и сабијена опруга, сабијен ваздух, истегнута гума (узајамни положај молекула) – услед еластичних сила враћају се у првобитни облик и врше рад

Потенцијална енергија тела у близини Земље

Ако тело у пољу Земљине теже пређе из положаја на висини h₁ у положај на висини h₂, рад силе теже је:

$A=F_{g}s$ $s=h_{2}-h_{1}$

$A=mg(h_{2}-h_{1})$

пошто је $A=E_{p1}-E_{p2}$

$E_{p1}=mgh_{1}$ $E_{p2}=mgh_{2}$

Закључак: Тело масе m на висини h изнад површине Земље има потенцијалну енергију:

$E_{p}=mgh$

Вредност потенцијалне енергије тела или система тела зависи од избора нултог нивоа.

Обично се висина тела до које је тело подигнуто рачуна у односу на површину Земље. У том случају, површина Земље је нулти ниво гравитационе потенцијалне енергије.

Избор нултог нивоа потенцијалне енергије је произвољан и повезан је са природом проблема који се решава.

Потенцијална енергија може да се дефинише само у оним системима у којима између тела делују конзервативне силе.

Потенцијална енергија тела на великом растојању од Земље

Формула за потенцијалну енергију $E_{p}=mgh$ важи само када је висина h мала. Само у том случају може да се сматра да је сила теже константна.

У општем случају гравитациона сила којом Земља привлачи тело није константна, већ опада са квадратом растојања.

Рад у гравитационом пољу:

рад се улаже – рад врше спољашње силе – повећава се растојање између тела – рад гравитационе силе негативан
рад се добија – рад врши гравитациона сила – смањује се растојање између тела – рад гравитационе силе позитиван

Рад гравитационе силе премештање тела из положаја 1 у положај 2

$F_{1}=\gamma \frac{Mm}{r_1^2}$ – вредност гравитационе силе која делује на тело масе m у положају 1

$F_{2}=\gamma \frac{Mm}{r_2^2}$ – вредност гравитационе силе која делује на тело масе m у положају 2

Пошто сила нема константну вредност током целог пута рад се не може израчунати као производ силе и пређеног пута, већ треба узети средњу вредност силе. Пошто интензитет гравитационе силе зависи од квадрата растојања рачуна се геометријска средина.

$F_{sr}=\sqrt{F_{1}F_{2}}$

$F_{sr}=\sqrt{\gamma \frac{Mm}{r_1^2}\gamma \frac{Mm}{r_2^2}}$

$F_{sr}=\gamma \frac{Mm}{r_1r_2}$

$A=F_{sr}s$

$A=F_{sr}(r_{1}-r_{2})$

$A=\gamma \frac{Mm}{r_1r_2}(r_{1}-r_{2})$

$A=\gamma \frac{Mm}{r_2}-\gamma \frac{Mm}{r_1}$ $A=\gamma Mm (\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1})$

Када систем тела прелази из положаја 1 у положај 2, рад конзервативних сила једнак је разлици потенцијалних енергија система у почетном и крајњем положају.

$A=E_{p1}-E_{p2}$

$A=-\gamma \frac{Mm}{r_1}-(-\gamma \frac{Mm}{r_2})$