Физика

за сваког по нешто

Математичко клатно

Преузми Word документ

Клатно је тело које је окачено о тачку вешања и које се слободно љуља.

Када клатно које мирује померимо из равнотежног положаја, на њега делује сила гравитације која настоји да тело убрза у смеру равнотежног положаја. Због тога настају осцилације и клатно почиње да се креће напред-назад.

Кад тело осцилује, оно периодично своју кинетичку енергију претвара у потенцијалну и обрнуто. Да би се укупна механичка енергија одржавала потребно је да осцилатор има тачно одређене особине. Пример једног таквог осцилатора је математичко клатно.

Математико клатно је идеализовани математички модел клатна где клатно осцилује без трења и увек има исту амплитуду.

 Математичко клатно:

  • тело (најчешће куглица) обешено о нестигљиву нит (конац) које може да осцилује у вертикалној равни под утицајем Земљине теже
  • маса конца је занемарљива
  • пречник куглице је много мањи од дужине конца
  • маса куглице је много већа од масе конца
  • амплитуде осциловања су мале

Идеално клатно не постоји.

Приближно – куглица обешена о танку и неистегљиву нит:

klatno-1

равнотежни положај

T  – сила затезања конца

F_{g}  – сила Земљине теже

l – дужина клатна (од тачке вешања до центра куглице)

Када се куглица изведе из равнотежног положаја и пусти, она започиње осциловање око равнотежног положаја.

klatno-2

F_{n} – компонента Земљине теже у правцу конца је у равнотежи са силом затезања конца T

F – компонента Земљине теже  нормална на конац – активна компонента – увек усмерена ка равнотежном положају

F=F_{g}sin\theta

F=mg sin\theta

када су амплитуде мале s\approx x_{0}  (клатно се креће приближно по правој линији – осцилације су хармонијске)

пошто је: sin \theta =\frac{x}{l}

F=-mg \frac{x}{l}

знак “-“ означава да је сила F усмерена ка равнотежном положају (супротно смеру помераја тела од равнотежног положаја)

 

Према II Њутновом закону:

ma=-mg \frac{x}{l}

a=-g \frac{x}{l}

пошто је: a=-\omega ^{2}x

-\omega ^{2}x=-g \frac{x}{l}

\omega ^{2}=\frac{g}{l}

\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}          \omega=\frac{2\pi }{T}

\frac{2\pi }{T}=\sqrt{\frac{g}{l}}

Период осциловања математичког клатна:

T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}

При малим угловима отклона (мањи од 60) период осциловања математичког клатна зависи од дужине клатна и убрзања Земљине теже.

не зависи – од амплитуде и масе

Закон одржања енергије:

klatno zakon odrzanja

E_{k}=\frac{mv^{2}}{2}              E_{p}=mgh

E=E_{k}+E_{p}=const

 

Додатак:

 

 Енергија хармонијског осцилатора Физичко клатно