Релативистичка маса, импулс и енергија

Преузми Word документ

Импулс и маса

Формула за импулс у класичној физици има следећи облик:

$p=mv$

$m$ – маса тела (сматрана је сталном и непроменљивом физичком величином, независном од брзине кретања тела).

Закон одржања импулса важи и у класичној и у релативистичкој физици.

Релативистички импулс честице (тела) која се креће брзином v дефинише се следећом формулом:

$p=\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

$m_{0}$ – маса тела у мировању.

На основу претходних формула за импулс можемо да закључимо да је у релативистичкој динамици маса дефинисана следећом формулом:

$m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

Приликом мерења односа $\frac{e}{m}$ (наелектрисања и масе) за електрон утврђена је ова зависност знатно пре појаве теорије релативности.

Пример: Две ракете (космички бродови) имају масу од по 300 тона док мирују на Земљи. Када се крећу релативном брзином једна у односу на другу $v=240000\frac{km}{s}=\frac{4}{5}c$ , посматрачу који се налази у ракети А изгледаће као да ракета Б има масу:

$m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

$m=\frac{300t}{\sqrt{1-\frac{(\frac{4}{5}c)^{2}}{c^{2}}}}$

$m=\frac{300t}{\sqrt{1-\frac{16}{25}}}$

$m=\frac{300t}{\frac{3}{5}}$

$m=500t$

За све време маса ракете остаје непромењена за посматрача који се налази у њој. За њега је маса ракете све време једнака маси мировања.

Ова појава је узајамна. Посматрач из ракете Б, такође, утврђује да је маса ракете А повећана.

Ако би релативна брзина ракета била једнака брзини светлости:

$m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

$m=\frac{300t}{\sqrt{1-\frac{c^{2}}{c^{2}}}}$

$m=\frac{300t}{\sqrt{1-1}}$

$m=\frac{300t}{0}$

$m=\infty$

Маса ракете, у односу на другу ракету, постаје бесконачно велика. Али управо овакав резултат нас доводи до граничног карактера брзине светлости, тј. до тога да материјално тело не може да достигне брзину светлости (брзина светлости је највећа могућа брзина у природи).

Важно је напоменути да пораст масе не значи да се тело повећало у смислу физичких димензија (дужина, ширина, висина). Раније смо утврдили (део Релативистичка каракер дужине) да се тела смањују.

Енергија

Укупна енергије честице (тела) у релативистичкој динамици одређује се формулом:

$E=\frac{m_{0}c^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

На основу ове формуле можемо да закључимо да честица (тело) не може да убрза до брзине светлости јер би за то била потребна бесконачно велика енергија.

На основу ове формуле следи да ако честица мирује, њена енергија је:

$E_{0}=m_{0}c^{2}$ – енергија мировања

Пошто је:

$E=\frac{m_{0}c^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ $m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

добија се позната Ајнштајнова једначина за укупну енергију тела:

$E=mc^{2}$

Ова формула омогућава да се израчуна укупна енергија која би се добила ако би се комплетна маса било које супстанце претворила у енергију.

Кинетичка енергија честице, у релативистичкој физици, једнака је разлици укупне енергије и енергије мировања:

$E_{k}=E-E_{0}$

$E_{k}=\frac{m_{0}c^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}-m_{0}c^{2}$

$E_{k}=m_{0}c^{2}\left (\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}-1 \right )$

$E_{k}=m_{0}c^{2}\left (\gamma -1 \right )$

где је:

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ – Лоренцов фактор

Занимљивост:

Ако би се у Ајнштајнову формулу за укупну енергију уврстио 1 килограм угља, добија се енергија која одговара енергији коју за годину дана произведе електрана снаге 300MW.

Из свакодневног живота свима је познато да се приликом сагоревања угља ослобађа неупоредиво мања количина енергије.

Приликом обичног сагоревања угља ослобађа се енергија која настаје као резултат хемијског процеса, долази само до преуређивања и новог везивања атома и молекула, али не долази до мерљиве конверзије масе у енергију јер се угаљ претвара у чађ, пепео, дим, а не нестаје. Кад би се сви ови крајњи продукти измерили њихова укупна маса опет би била 1 килограм. Упоређивањем количине енергије која би настала при претварању 1 килограма угља у енергију и обичног сагоревања исте масе угља, утврђује се да се при сагоревању ослобађа три милијарде пута мање енергије.

Процес у коме се знатна количина масе претвара у енергију је потпуно другачије природе од обичног сагоревања.

Убедљиви доказ претварања масе у енергије су експлозије атомских бомби. Прва проба (прва атомска бомба) – у Њу Мексику, САД, 16. јул 1945. године.

Додатак – Електронволт (eV)

Мерна јединица за енергију у Међународном систему (SI) јединица је џул (J). Поред ове јединице за мерење електричне енергије користи се киловатчас (kWh). У физици елементарних честица најчешће се користи мерна јединица електронволт (eV).

Електронволт је јединица енергије једнака кинетичкој енергији коју добије слободни електрон у вакууму проласком кроз потенцијалну разлику од једног волта.

$1eV =1,6\cdot 10^{-19}J$

Електронволт је јединица погодна за коришћење у физици елементарних честица јер су, у апсолутном смислу, енергије честице веома мале. На пример у Великом хадронском сударачу у ЦЕРНу укупна енергија судара је 14 TeV. Ако се ова енергија изрази у џулима:

$14TeV =2,24\cdot 10^{-7}J$

Енергија и маса

Честице не могу да се крећу брзином већом од брзине светлости у вакууму. Међутим, не постоје ограничења за енергију коју честица може постићи. У високо енергетских акцелератора, честице обично путују брзинама блиским брзини светлости. У овим условима, када се енергија повећава, повећање брзине је минималано.

Пример – Велики хадронски сударач (LHC)

брзина 999997828 c – енергија 450GeV
брзина 999999991 c – енергија 7000GeV

Због тога, физичари који проучавају честице генерално не размишљају о брзини, већ о енергији честица.

Класични Њутнов однос између брзине и кинетичке енергија $E =\frac{mv^{2}}{2}$ важи само за брзине много мање од брзине светлости. За честице које се крећу брзинама блиским брзини светлости користе се једначине Ајнштајнове специјалне теорије релативности.

$E_{k}=m_{0}c^{2}\left (\gamma -1 \right )$

За енергију и масу може да се каже да су две стране истог новчића. Маса може да се трансформише у енергију и обрнуто, у складу са познатом Ајнштајновом једначином $E=mc^{2}$ . У LHC ова трансформација дешава у сваком судару. Исто тако, због овог еквиваленције, маса и енергија се веома често у физици елементарних честица изражавају истом јединицом (постављањем c = 1). Маса се не изражава у јединицама масе већ у јединицама енергије која се мора уложити да би се честица створила или која се ослобађа када честица нестаје.

Маса мировања протона је $0.938\frac{GeV}{c^{2}}$ одсносно $0.938GeV$ .