Физика

за сваког по нешто

Честица у потенцијалној јами

Преузми Word документ

Потенцијална јама је област ограничена високим и стрмим потенцијалним зидовима.

Упоређивање – гравитациона потенцијална јама – Тело се налази у јами и не може да је напусти ако нема енергију која је једнака или већа од потенцијалне енергије која одговара висини зида јаме. Ако тело има енергију  E<Ep оно не може да напусти јаму.

Међутим, у квантној механици постоји вероватноћа да се честица нађе изван потенцијалне јаме. Једини случај када честица не може да напусти јаму је када E_{p}\rightarrow \infty, односно када се налази у бесконачно дубокој потенцијалној јами. Пошто енергија честица не може да буде бесконачна, она не може да се нађе у областима изван потенцијалне јаме.

Посматраћемо кретање микрочестице дуж х-осе у потенцијалној јами правоугаоног облика бесконачне дубине (“зидови“ бесконачно високи). То је еквивалентно кретању молекула гаса у некој кутији чврстих зидова. Молекул се слободно креће све док не погоди зид и од њега се еластично одбије. Слична ситуације је са слободним електроном у металу, ако се занемаре интеракције са позитивним јонима и ако је висина потенцијалне баријере (излазни рад) много већа од кинетичке енергије електрона. У том случају се електрон слободно креће кроз метал, али не може да га напусти.

Честица се у потенцијалној јами слободно креће и ограничена је непропустљивим зидовима на местима x=0 и x=L. Потенцијална баријера има улогу препреке која задржава честицу у потенцијалној јами, односно у пољу сила. Висина потенцијалне баријере одређена је вредношћу потенцијалне енергије, односно вредношћу њеног потенцијала – што је уобичајен назив у квантној механици. Што је већа потенцијална баријера то треба уложити већу енергију да би честица напустила потенцијалну јаму.

Посматраћемо честицу масе m (на пример: електрон) која се налази на дну правоугаоне једнодимензионалне потенцијалне јаме. Потенцијална енергија је честице је у свим тачкама дна потенцијалне јаме једнака нули, а на границама потенцијалне јаме за х=0 и x=L, неограничено расте и тежи бесконачности.

Значи:

  • у области 0\leq x\leq L потенцијална енергија E_{p}=0
  • у области x \leq 0 и x \geq L потенцијална енергија E_{p}\rightarrow\infty; вероватноћа налажења честица у овим областима је једнака нули, па су и одговарајуће функције стања за те положаје \psi (x)=0

Решавањем Шредингерове једначине, добија се да:

  • Постоје стационарна стања у којима може да се нађе честица масе m у потенцијалној јами ширине L. Енергија тих стационарних стања:

E_{n}=n^{2}\frac{h^{2}}{8mL^{2}}          n= 1, 2, 3 .... – квантни број

енергије честица у потенцијалној јами су квантоване (могу да имају само одређене вредности)

Вредност n=0 се не узима, јер би вредност таласне функције била једнака нули, што би значило да у потенцијалној јами нема честице.

Стање честице са најмањом могућом енергијом E1 (n=1) назива се основно стање, а сва виша стања су побуђена стања.

Вредност енергије је обрнуто сразмерна маси честице. Квантовање енергије електрона је у атомским димензијама је изражено, док је код молекула гаса разлика у квантним нивоима занемарљиво мала, ма се може узети да се енергија мења континуално. Значи, дискретне промене енергије су оштро изражене са код честица са малим масама, док се оне крећу у ограничено малим димензијама.

 

  • Таласне функције стационарних стања су истог облика као функције којима се описују стојећи таласи. Графици таласних функција у четири најнижа електронска нивоа:

На ивицама потенцијалне јаме вероватноћа налажења честице једнака је нули, па су ту чворови стојећих таласа, а између њих може бити више трбуха (тачке у којима је вероватноћа налажења честица највећа). Број максимума у расподели вероватноћа једнак је квантном броју n. На пример за n=2 – честица се не може наћи на средини јаме, док се подједнако често налази како у левој, тако и у десној половини јаме. Таково понашање честице је неспојиво са класичном представом о путањи.

Стојећи таласи у потенцијалној јами могу да се упореде са стојећим таласима на затегнутој жици. Стојећи таласи на затегнутој жици настају слагањем равних таласа који се одбијају од учвршћених крајева жице и простиру се у супротним смеровима. Таласна функција у потенцијалној јами може да се схвати као резултат слагања два деброљевска таласа који се одбијају од зидова јаме.

 

Закључак:

Енергија честице не може да буде произвољна, већ постоји дискретан низ могућих вредности.

Електрони у атому и протони у језгру атома могу да се схвате као честице које се налазе у потенцијалној јами, па су и њихове енергије квантоване.

Само слободне честице могу да имају произвољну енергију (већу од нуле), док су енергетски спектри везаних честица дискретни.

 

Додатак:

Електрон атома водоника у основном стању има укупну енергију -13,6eV, што показује да је његова кинетичка енергија за толику вредност мања по апсолутној вредности од његове потенцијалне енергије. Да би електрон напустио потенцијалну јаму, односно да би атом водоника постао јонизован потребно је да електрон прими енергију која није мања од 13,6eV.

Слободни електрон у металу је у пољу константног потенцијала позитивних јона кристалне решетке, да би напустио потенцијалну јаму у металу и постао слободан изван метала потребно је да прими енергију од неколико електрон волти.

Закључак: да би електрон напустио потенцијалну јаму потребно је да савлада већу потенцијалну баријеру када је у атому водоника, него када је у металу.

 

Додатак:

 

 

Кретање слободних честица Квантни линеарни хармонијски осцилатор