Квантни линеарни хармонијски осцилатор

Укупна енергија хармонијског осцилатора једнака је збиру кинетичке и потенцијалне енергије.

$E=E_{k}+E_{p}$

десни амплитудни положај $E_{k}=0$ $E_{p}=max$

равнотежни положај $E_{k}=max$ $E_{p}=0$

леви амплитудни положај $E_{k}=0$ $E_{p}=max$

равнотежни положај $E_{k}=max$ $E_{p}=0$

$E_{k}=\frac{mv^{2}}{2}$ $E_{p}=\frac{kx^{2}}{2}$

$v=\omega x_{0}cos \left ( \omega t+\varphi _{0} \right )$ $x=x_{0}sin \left ( \omega t+\varphi _{0} \right )$ $k=m\omega ^{2}$

$E_{k}=\frac{m\omega^{2} x_{0}^{2}cos^{2} \left ( \omega t+\varphi _{0} \right )}{2}$ $E_{p}=\frac{m\omega^{2} x_{0}^{2}sin^{2} \left ( \omega t+\varphi _{0} \right )}{2}$

$E=E_{k}+E_{p}$

$E=\frac{m\omega^{2} x_{0}^{2}cos^{2} \left ( \omega t+\varphi _{0} \right )}{2}+\frac{m\omega^{2} x_{0}^{2}sin^{2} \left ( \omega t+\varphi _{0} \right )}{2}$

$E=\frac{m\omega^{2} x_{0}^{2}}{2} \left [ cos^{2}\left ( \omega t+\varphi _{0} \right )+ sin^{2}\left ( \omega t+\varphi _{0} \right )\right ]$

$E=\frac{m\omega^{2} x_{0}^{2}}{2}$

Укупна енергија хармонијског осцилатора има константну вредност и сразмерна је квадрату амплитуде осциловања.

График зависности енергије од удаљености од равнотежног положаја:

Потенцијална енергија једнодимензионалног хармонијског осцилатора:

$E_{p}=\frac{kx^{2}}{2}$

потенцијална крива има облик параболе:

Класична физика:

укупна енергија линеарног хармонијског осцилатора може да има било коју вредност која је већа или једнака нули ( $E\geq0$ )
амплитуда осциловања је тачно одређена вредношћу енергије Е (честица осцилује између –x₀ и +x₀)
честица се креће унутар потенцијалне јаме, облика параболе, чије су границе одређена вредношћу укупне потенцијалне енергије: $x_{0}=\sqrt{\frac{2E}{k}}$ .

Квантна механика:

Стања линеарног хармонијског осцилатора добијају се решавањем Шредингерове једначине, заменом

$E_{p}=\frac{kx^{2}}{2}$ .

Линеарни хармонијски осцилатор не може да има произвољне вредности енергије, већ само одређене:

$E_{n}=(n+\frac{1}{2})\hbar \omega$ $n=0, 1, 2 ...$ $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$

Ово је измењени облик израза који је дао Планк. Можемо да уочимо да у овом случају енергија може да има и “половичне“ вредности. Основно стање n=0 енергија осцилатора није једнака нули, већ $E_{0}=\frac{1}{2}\hbar \omega$ (нулта енергија). Ова енергија основног стања не ишчезава никад, чак ни на апсолутној нули. Постојање нулте енергије је доказано експериментално, расејавањем светлости на кристалима на ниским температурама. Ово указује на то да ни на апсолутној нули осцилације кристалне решетке не престају, што значи да један квантни систем не може да буде у стању без кретања. Ова нулта енергија има велику улогу код истраживања особина метала на температурама блиским апсолутној нули.

Растојања између нивоа енергија хармонијског осцилатора су међусобно једнака.

Прорачуни показују да су код хармонијског осцилатора могући само прелазити између суседних нивоа, а под дејством електричног поља. Овај резултат се поклапа са претпоставком коју је увео Планк, да енергија која се емитује (односно апсорбује) може да буде само целобројни умножак $\hbar \omega$ .

Функције стања (таласне функције) у различитим енергетским стањима су сличне стојећим таласима.

Сама таласна функција нема физички смисао, већ физички смисао има квадрат таласне функције – вероватноћа налажења. Највећа вероватноћа налажења честица је у равнотежном положају, тј. око равнотежног положаја.

Са графика може да се види да да квантни хармонијски осцилатор може да се нађе и изван граница потенцијалне јаме (функција стања различита од нуле у малој области изван граница потенцијалне јаме).

Многи компликовани системи могу да се сведу на линеарни хармонијски осцилатор, на пример електрони у чврстим телима, за побуђена језгра.

Додатак:

Честица у потенцијалној јами

Пролаз кроз потенцијалну баријеру

Физика

Квантни линеарни хармонијски осцилатор

Садржај

Часописи